Зарождение счета в глубокой древности
Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века - палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия "много". Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.
Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами "один" и "много". Появление элемента "два" объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, "три" характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие "четыре", так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой - возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.
Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.
На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.
Пальцевой счёт
Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату - к своим пальцам. Быть может, первым актом счёта по пальцам было оказание предмета, указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем, распространяя свой приём на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. Так, для выражения числа "двадцать" индейцы из Южной Америки противопоставляют пальцы на руках пальцам на ногах.
Словесный счет начал развиваться, лишь когда ведущей формой производства стало сельское хозяйство. Обладатели полей, домашних животных, вынуждены были не только считать принадлежащие им объекты, но и запоминать их число, а это и толкнуло человека путь создания именованных чисел. Сначала запоминание проводилось весьма громоздким и неуклюжим способом: путем восстановления в памяти внешних признаков запоминаемых предметов. Например, обладатель стада волов запоминал количество принадлежащих ему животных по тем признакам, что один вол серый, другой - черный и т.д. Разумеется, такой способ запоминания не мог быть пригоден, когда число запоминаемых объектов было большим.
Следующей ступенью в развитии наименования чисел надо признать появление описательных выражений совокупности нескольких единиц. Например, вместо наименования числа, выражающего два предмета, употреблялась фраза "столько, сколько у меня рук", наименование четыре передавалось фразой: "столько, сколько ног у животного". Итак, словесными выражениями нескольких предметов явилось преимущественно части тела человека и животного.
В дальнейшем эти описания выражения у многих народов заменились наименованием соответствующих слов, и таким образом эти наименования закрепились за числами. Так, число два стало выражаться словами, обозначающими "уши", "руки", "крылья"; четыре - "нога страуса" (четырехпалая) и пр.
Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 - "десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге" - упрощалось в "палец на ноге". Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда.
Появление систем счисления
Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления. Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и наибольшее распространение получила в Америке. Её создание относится к этой эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система сохранилась еще в чистом виде (например, у жителей Полинезии и Меланезии).
Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее - по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положило основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и тем самым создало предпосылки на систему с основанием 20. Такая система получила распространение главным образом среди значительной части индейских племен Северной Америки и Туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а так же в северной части Сибири и в Африке.
Десятичная система счисления является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что в Европе эта система всегда была единственной: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранние пользовались другой системой.
Естественной единицей высшего разряда при возникновении двадцатеричной системы явился "человек" как обладатель 20 пальцев. В этой системе 40 выражается как "два человека", 60 - "три человека" и т.д. Двадцатеричная система имеет большой недостаток: для её словесного выражения надо иметь 20 различных названий для основных чисел. Поэтому, когда у некоторых племен развилась десятичная система счисления, то и многие другие племена, употреблявшие двадцатеричную, постепенно отошли от нее, переняв десятичную. Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не сами пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Здесь процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки является счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующий за суставом выше единицей являлось число 12, что и послужило двенадцатеричной системой счисления. Этот процесс иногда не останавливался на двенадцати, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда 12х5, т.е.60.
Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами.
Так постепенно, под влиянием потребностей экономического характера, человечество создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательного совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым и пользуется современная математика.
Письменная нумерация у древних народов
Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой - стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.
Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.
Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы, занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Государства, расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности.
Нумерация государств Древнего Востока и Рима
Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии. В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях.
Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта.
Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков - одного из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа, написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака.
Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами . В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр.
В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян.
Числа народов Средней Азии
Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств в VII-VIII вв., был создан арабский халифат - государство, занимающее огромную территорию. Первым, по времени, крупным математиком у народов, входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. - между 830-840). Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться "арабскими цифрами".
Нумерация на Руси
Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В X в., в княжение Владимира Святославовича (? - 1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок "Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение им же ведати человеку числа всех лет". Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 - тьма, 100 000 - легион, или неведий, 1 000 000 - леодр.
Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:
Тысяча тысяч - тьма; Тьма тем - легион, или певедий;
Легион легионов - леодр; Леодр леодров - ворон;
10 воронов - колода.
Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком, называемым титло, для отличия цифр от букв. Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками.
Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
натуральное число ноль счисление
Всматриваясь в причудливые знаки, не сразу поймешь, что символизируют древние числа и цифры. Мешки с крупами, орудия труда. В хвостатых, изогнутых знаках читается менталитет древнего народа, уровень его развития, навыки, экономическая обстановка. Обозначения цифр сотканы из глубоких абстракций и художественных представлений о мире. Рождение цифр неразрывно связано с возникновением письменности, но узелковое письмо шумерских народов появилось даже раньше. Оно было создано для счета. О чем это говорит? Уметь считать было важно во II в. до н.э., и в высокотехнологичном ХХI столетии.
Числа и бизнес пребывают в прочном тандеме. Числа нужны для основания и раскрутки бизнеса (для вычисления рентабельности, расчета конверсии, КПД), а бизнес нужен для хороших цифр на счету в банке . Счет стал неотъемлемой частью человеческого мышления и настолько влился в повседневную жизнь, что мы даже не замечаем его. Предприниматель должен числа не просто видеть, считать и предполагать, а читать. Созерцать не глазами, а разумом.
Цифры и числа – это разные понятия. В обиходе мы их путаем, но существенная разница в сути слов от этого не исчезла. Цифра служит для условного обозначения числа. Число выражает количественную характеристику в цифрах, и представляет собой более обобщенное понятие.
Если проанализировать, какими были первые цифры, можно увидеть обширную историю культуры отдельного народа. Составление обозначений для чисел потребовало более высокого интеллектуального уровня. Поэтому наши предки оставляли тысячи зарубок на твердых материалах. Столько, сколько требовалось. Так, наивно, но достоверно, заполнялись древние отчетные документы, «чеки» и т.п. Первые цифры представляли собой примитивные засечки и значки.
Пример древних чисел и цифр
Генезис цифр останется для ученых неизведанной Марианской впадиной. Витиеватая история возникновения вызывает замешательство. Точно известно, что первые попытки письменной фиксации цифр были в Египте и Месопотамии: найденные древние математические записи тому свидетельство . Эти государства располагались далеко друг от друга, письменность и культура в каждом из них уникальна.
В Древнем Египте сформировалось скорописное иероглифическое письмо, месопотамские писцы использовали клинопись. Поэтому египетские первые цифры своей формой передавали природу всех окружающих предметов: животные, растения, предметы быта и т.д. Папирус Ринда (1650 г. до н.э.) и папирус Голенищева (1850 г. до н.э.) – числовые древнеегипетские документы - свидетельствуют о высоком культурном развитии народа. Месопотамская клинопись запечатлена на глиняных табличках, на которых цифры представлены небольшими клиньями, повернутыми в разные стороны соответственно своему значению.
И в египетских, и в месопотамских системах счисления есть цифры от 1 до 10, особые метки для обозначения десятков, сотен и тысяч, и ноль, который обозначали выделенным пустым местом.
Числа древнего Египта построены грамотно и логично. Рационализм и четкость отличают эти системы счисления от аналогичных попыток других народов. Цифры значением меньше десяти обозначались ׀. Например, цифра 6 выглядела как ׀׀׀׀׀׀. Число 10 обозначалось перевернутой подковой в иероглифической системе и особым символом – в иератической. Сколько десятков в числе, столько и «подков». Иератическая система письменности предполагала для каждого числа, на десяток выше предыдущего, отдельный символ. Начиная от 100, это была стилизованная клюшка, над которой с каждой новой сотней ставили крохотную пометку.
Читайте также
Жизнь денег
В иероглифах все проще. Число 100 выглядело почти как арабская цифра 9, но египтяне назвали ее лотосом. Далее все аналогично - 200 – 2 «лотоса», 300 – 3 и т.д.
Египетские числа и цифры
Вы заметили, что в древнем Египте с самого начала сформировалась десятичная система? Однако Месопотамия все же превзошла Египет, когда на ее территории обрел независимость и возвысился Вавилон. Там вырастала отдельная культура, вскормленная достижениями соседних завоеванных государств.
Достижение Вавилона
Числа древнего Вавилона мало отличались от месопотамских: те же клиновидные знаки служили для обозначения единиц — ˅, и десятков — ˃. Комбинация этих знаков применялась для обозначения чисел 11-59. Число 60 в письме выглядело как зеркальное отражение буквы «Г». 70 – Г˃, 80 — Г˃˃ и так далее, принцип ясен, клинопись не отличается гениальностью.
Вавилонская система счисления
Основная ценность заключается в том, что один и тот же знак – обратите внимание – в зависимости от того, где он расположен в записи числа, имеет разное значение. Речь идет о поместном размещении знаков в системе счисления. Те же клиновидные знаки, указанные в разных разрядах, обладают разной значимостью. Поэтому Вавилонскую систему счисления с нулем принято называть позиционной. Математики могут с этим поспорить, потому что не найдено ни одного источника, в которой ноль располагался бы в конце числовой записи, что говорит об относительной позиционности.
Вавилонская система стала своеобразным трамплином, с которого человечество совершило прыжок на новый этап своего развития. Идея со временем попала в руки индусов. Они внесли свои коррективы, усовершенствовав систему счисления. Переняли идею итальянские торговцы, которые привезли ее в Европу вместе с товаром. Позиционная система счисления облетела весь мир, обогатив своим появлением не только математические науки, но и современный счет.
Знаете, откуда взялось деление часа на 60 минут, а минут – на 60 секунд? Из рассмотренной выше шестидесятеричной системы чисел. Взгляните, как обозначали числа древние вавилоняне, и в клиновидных значках увидите сакральный смысл современного, привычного для всех счисления.
История цифр разных народов
Цифры древней Греции
Под плеядой легендарных античных математиков и философов сформировалось две системы счисления. Каждая из них приносила свои преимущества, но они не были открыты или доработаны в связи с политико-культурными переменами.
Аттическую систему можно было бы назвать десятичной, если бы в ней не была выделена цифра 5. Аттическая запись чисел использовала повторы коллективных символов, что напоминало месопотамский метод. Единицу обозначала черта, написанная нужное количество раз. Таким образом записывались числа до 4. Цифра 5 была под первой буквой слова «пента», 10 – под первой буквой слова «дека» («десять») и т.д.
История чисел и цифр:
Алфавитная (или ионическая) система достигла своего расцвета в преддверии Александрийской эпохи. По сути, объединила десятеричную систему счисления и древневавилонский способ позиционности. Цифры записывались буквами и черточками. Система счисления довольно перспективна, но греки с их фанатичным стремлением к совершенству так и не довели ее до ума. Пытаясь достигнуть максимальной строгости и четкости в числовых записях, математики внесли существенные трудности в работу с ней.
Читайте также
Денежная система в прошлом
Легкоузнаваемые, четкие, строгие и ясные обозначения стали весьма удачным изобретением римлян. Пройдя сквозь века, символы остались практически неизменными еще и потому, что Рим пользовался влиянием на древней государственной арене. А также перенимал некоторые культурные особенности у завоеванных народов. Бросается в глаза алфавитное обозначение цифр – главная «изюминка» аттической системы. Цифра V (5) – прототип ладони с раскрытыми пятью пальцами. Стало быть, Х (10) – две ладони. Палочками указывали единицы, а для сотен и тысяч предназначены прописные буквы алфавита.
Числа и цифры древнего Рима
Цифры древнего Китая
Система сложных, абстрактных иероглифов, в которую превратились невинные зарубки на гадальных костях, мало где применяется. Впрочем, иероглифы используются для формальных записей, а упрощенный набор символов применяется в повседневной жизни.
Числа в древней Руси
Как ни странно, Русь повторила алфавитную систему счисления. Каждая цифра была названа соответствующей ее рангу буквой алфавита. Цифра 1 выглядела как «А», 2 – «Б», 3 – «В» и т.д. Десятки и сотни также были подписаны соответствующими буквами славянского алфавита. Чтобы не путать в тексте слова с цифрами, над числовыми записями рисовали титло – горизонтальную волнистую линию.
числа и цифры Древней Руси
Древнеиндийские цифры
Сколько бы ни спорили ученые, сколько бы изменений ни претерпевала форма цифр, но возникновение арабских, «наших» цифр приписывают древней Индии. Возможно, арабы позаимствовали древнеиндийскую систему счисления или изобрели ее сами. Причиной научных мытарств стал фундаментальный математический труд Аль-Хорезми «Об индийском счете». Книга стала своеобразной «рекламой» десятичной позиционной системы. Иначе как объяснить внедрение индийской системы счисления на территории всего Халифата?
Полноценность позиционной системы укрепилась возникновением «нуля». В целом запись чисел не ушла далеко от аттической: для цифр 5, 10, 20… использовались коллективные символы, повторяющиеся нужное количество раз.
При таком подходе из древнеиндийских цифр не могли «вырасти» арабские. Это утверждение кажется логичным на первый взгляд, но история цифр загадочна, и демонстрирует непричастность древней Индии к возникновению знакомых нам символов.
Самые распространенные системы счисления
Арабские цифры значительно экономили время и материалы для письма. Один арабский ученый предложил обозначать цифру символом с определенным количеством углов. Количество углов должно равняться значению цифры. Например, «0» — «ничто», углов нет; 1 – 1 угол; 2 – 2 угла и т.д. Слово «цифра» также позаимствовано из арабских языков, где оно звучало как «сыфр», и обозначало «ничто», «пустота». У «сыфр» был синоним – «шунья». На протяжении веков «0» называли именно так. До тех пор, пока не появилось латинское «нуллум» («ничто»), как мы и называем «ноль».
Современный вариант символьного обозначения цифр выражен плавными, округлыми линиями. Это результат эволюции. В первозданном виде обозначения угловаты. Время действительно способно сглаживать углы – в прямом и переносном значениях. Неважно, откуда берет истоки история возникновения чисел, главное, они стали достоянием всего мира. Цифры легко пишутся и запоминаются, что облегчает и смысловое восприятие. Ведь перед вами не длинная вереница закорючек и букв.
Несмотря на то, что латынь называют «мертвым» языком, ее значимость в научной сфере подтверждена изучением в ВУЗах. Латинские цифры также нашли применение в документоведении, деловодстве, оформлении научных работ. Доступность, понятность и четкость сделали их завсегдатаями учебников и рефератов.
Числа преследуют человека везде. Даже наше тело созвучно их миру - мы имеем определенное количество органов, зубов, волос и кожных клеток. Счет стал привычным, автоматическим действием, поэтому сложно представить, что когда-то люди не знали цифр. На самом деле история возникновения чисел прослеживается с самых древних времен.
Числа и первобытные люди
В какой-то момент человек ощутил большую потребность в счете. На это его
подтолкнула сама жизнь. Необходимо было каким-то образом организовывать племя, отправляя на охоту или собирательство только определенное количество человек. Поэтому для счета пользовались пальцами на руках. До сих пор есть племена, которые вместо цифры «5» показывают одну руку, а вместо десяти - две. С такого простого алгоритма счета и начала развиваться история возникновения чисел.
Простые числа
История возникновения чисел позволяет заметить, что люди довольно давно обнаружили разницу между нечетной и четной цифрой, а также различные взаимосвязи внутри самих числовых выражений. Немалый вклад в подобные
исследования внесли древние греки. Например, греческий ученый Эратосфен создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать - сначала все числа, которые можно делить на два, потом - на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.
Таким образом, история возникновения чисел - явление древнее и глубинное. По оценкам ученых, оно началось еще около 30 тысяч лет назад. За это время в жизни человека успело поменяться многое. Но и по сей день руководит нашим бытием.
Я. Линский
Древние народы тех времен, когда изобретали цифры, не оставили нам книг, по которым мы могли бы установить, какова была наука в те далекие времена. Но даже из того, что было в те времена записано или изображено, не все дошло до нас и не все разгадано в тех надписях, которые сохранились до нашего времени.
Мы изучаем древние сказания и предания. Некоторые из этих преданий впоследствии были записаны первыми древними историками. Так, историк Плиний записал, будто римский царь Нума велел воздвигнуть статую двуликому Янусу так, чтобы пальцы Януса указывали 365 – число дней года. Двуликий Янус был римский бог. Его именем был назван первый месяц года январь. Изображали Януса с двумя лицами, которые смотрели в противоположные стороны – в прошлое и в будущее. Но все же римляне считали, что у Януса, как у любого бога или человека, только 20 пальцев на руках и ногах. И такая запись древнего историка говорит нам, что по пальцам умели считать не только до двадцати.
Отсчитывать большие числа пальцами умели не только римляне, но и другие народы.
О происхождении цифр мы узнаем и по языку разных народов. Так мы узнали, что понятие "два" в Китае обозначают словом "уши", а в Тибете – словом "крылья". В Квинслэнде, в Австралии, туземцы вместо "четыре" говорили "бурла-бурла", что означает "два-два". Вместо слова "считать" мы иногда употребляем иностранное слово "калькулировать". Происходит это слово от римского слова "калькуль", что означает камешек. Таким образом само слово подтверждает, что древние римляне вели счёт камушками.
Интересно наблюдать, как считают первобытные племена. По таким наблюдениям установлено, что некоторые племена умели считать только до трех, а после трех говорили "много".
Племя янкусов на Амазонке понятие 3 передавало словом "поеттаррарориккоароак", а чтобы сосчитать шесть, им нужно два раза произнести это "коротенькое" слово. Представляем себе, сколько раз им надо произнести "поеттаррарориккоароак", чтобы досчитать до ста.
Некоторые племена индейцев считали так: один человек отсчитывал по пальцам до десяти, потом звали другого человека, который загибал один палец для первого десятка, второй палец, когда первый человек второй раз загнул свои 10 пальцев. Так продолжался счет до сотни. Сотни уже считал по своим пальцам третий индеец, тысячи – четвертый и так далее. Зулусы устраивались проще: отсчитывали по пальцам десять и хлопали в ладоши один раз, отсчитывали второй десяток и хлопали два раза. Семь хлопков и восемь растопыренных пальцев обозначали 78. Проще-то это проще, но и сбиться со счета легче. Не всегда запомнишь, сколько раз отхлопал.
СЧЕТ ПО-КИТАЙСКИ
По этому рисунку видно, как китайцы досчитывали на пальцах до десятков миллионов.
Огромного искусства в счете на пальцах достигли китайцы. Китайцы ухитрялись на одном пальце отсчитывать девять, на следующем пальце они отсчитывали десятки, на третьем – сотни, и таким образом на восьми пальцах они ухитрялись считать до 99 999 999.
Большие пальцы служили китайцам для того, чтобы на остальных своих длинных, тонких и гибких пальцах производить этот сложный счет. Китайские купцы торговались молча на глазах у всех, но никто из окружающих не мог узнать, за какую цену товар куплен. Купцы брали друг друга за руку под полой своих длинных халатов и показывали цену прикосновением к пальцам. Многие исследователи утверждают, что обычай хлопать друг друга по рукам под полой кафтана при продаже товара перешел к русским купцам из Китая.
– Ну, по рукам?
– По рукам! – говорили русские – и дело считалось решенным. Так говорим мы теперь при случае. Хлопать по рукам русские купцы научились, но считать по пальцам до таких больших чисел не умели.
С китайцами больше всех сталкивались сибирские звероловы. Но короткие пальцы на широких руках сибирских охотников давали им возможность нащупать толстым пальцам только два сустава на остальных своих пальцах. Таким образом сибиряки отсчитывали на правой руке до восьми и загибали один палец левой руки, а когда загнут все пять пальцев левой руки, значит отсчитали до сорока. Этим и объясняют, почему сорок стало единицей счета у русских. В пуде считали 40 фунтов. В старых описаниях Москвы говорится, что церквей было выстроено "сорок сороков". В древних летописях сказано, что дань (ясак) уплачивалась "сороками соболей".
Так пальцы на руках, а у некоторых народов и пальцы ног, были одной из первых широко распространенных счетных машин. Приспособлением для счета у многих народов служили камешки, зерна кукурузы, раковины и т. п. Жители островов в Южном океане счет вели кокосовыми орехами. Отсчитывали десять орехов и откладывали маленький кусочек ореха. Этими кусочками обозначали десятки. Насчитают десять маленьких кусочков и отложат кусок побольше, он обозначал сотни и т. д.
Но уже давно были и специальные приспособления для счета. Самым распространенным приспособлением для счета у народов, которые уже достигли известной степени культуры, был абак.
Песочный абак. В первой строке греческими знаками написано число 2 014 103, во второй – римскими – 350 627, в третьей – арабскими – 7 013 094.
До сих пор не удалось точно установить, когда абак появился впервые. Некоторые ученые говорят, что слово "абак" произошло от слова, которое у семитических народов означает пыль, прах, песок. Другие ученые производят слово "абак" от греческого слова "доска, стол". И, действительно, судя по описаниям, существовали различные абаки. Некоторые абаки состояли ид доски, покрытой цветным песком и разделенной на столбцы вертикальными полосами. На таком абаке можно было записывать числа и стирать написанное, как на грифельной доске.
Другой вид абака состоял из простой доски, разделенной на столбцы. Первый столбец обозначал единицы, второй – десятки, третий – сотни и т. д. Древний историк Геродот писал, что египтяне считают камешками, ведя рукой справа налево, а эллины (греки) водили рукой слева направо.
Абак с камешками. У греков это расположение камешков обозначало 2 130 210, у египтян – 120 312.
Один и тот же камешек можно положить в первый столбец – тогда он обозначает единицу, и в шестой столбец – тогда он обозначает сотню тысяч.
У греков было изречение, которое приписывают древнему мудрецу Солону.
Абак с колышками.
Оно говорит, что человек, который дружит с тиранами, подобен камешку при вычислении, значение его бывает иной раз большое, иной – малое.
Постепенно абак совершенствовался. В 1846 году при раскопках на острове Саламине был найден большой мраморный абак.
Этот абак был длиной в
160 и шириной в 70 сантиметров. В абаке этом были отдельные столбцы для счета целых чисел и отдельные для дробей.
Абак с марками, дающими число 5 507 020.
Были абаки с колышками, на которые надевались кружочки. Такой абак не найден, но, по описанию древних историков, мы его можем себе представить.
Римляне делали абаки с прорезями, в которых двигались пуговки. Такой абак похож на китайский, который назывался "суанпан". Китайцы делали свой абак из рамки, на которой были натянуты нитки с пуговками. Наши счеты, вероятнее всего, заимствованы у китайцев.
Постепенно вместо камешков, пуговок и гладких жетонов на абак стали класть марки, на которых были написаны цифры.
КАК ИЗМЕНИЛИСЬ ЦИФРЫ
Изображение римских цифр связано со счетом по пальцам.
Какие же цифры существовали у древних народов?
Нам известно, что китайцы знали цифры еще за 4500 лет до наших дней. Эти цифры состояли из горизонтальных и вертикальных палочек, а десять китайцы изображали кружочком, вроде нашего нуля. Но китайцы жили обособленно и можно утверждать, что их цифры не были переняты другими народами.
Арабские цифры, составленные из отдельных палочек.
У халдеев, которые жили по рекам Тигру и Евфрату, цифры были похожи на клинья. Их выдавливали на глиняных плитках.
У греков, евреев, славян цифрами служили буквы, расположенные в алфавитном порядке.
У римлян были уже цифры. Цифр у них было всего семь. Нужные им числа римляне изображали путем комбинации этих семи цифр. При этом они пользовались и сложением и вычитанием. Например "XI" у римлян обозначало "11", а если палочка стояла слева – "IX", читали "9", т. е. цифра "10" уменьшалась на единицу.
Самое изображение римских цифр, бесспорно, связано со счетом по пальцам.
Родина наших цифр – Индия. Некоторые исследователи пытаются доказать, что изображение наших цифр произошло от расположения черточек. Одной чертой изображали единицу, в следующих цифрах было столько черточек, сколько в этих цифрах содержалось единиц.
По мнению этих исследователей, постепенно для ускорения письма из этих отдельных черточек вырисовывались наши современные цифры. Однако эти предположения не имеют никаких доказательств.
Так можно начертить все цифры по одной фигуре.
Интересно, что происхождение цифр занимало и Пушкина. В его дневнике мы находим такую запись:
"Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры:
АД = 1
ЕАВДС = 2
АВЕСД = 3
АВД + АЕ = 4
и проч. римские цифры составлены по тому же образцу".
Изменения арабских цифр за семнадцать веков до 14 века нашей эры.
До нас дошли изображения цифр, которые употреблялись в разное время индусами и арабами.
Как видите, наши цифры изменялись, и только в 14 веке нашей эры они стали такими, какими мы их знаем сегодня. Наши цифры носят название арабских. С этими цифрами, заимствованными у индусов, большинство европейских и азиатских народов познакомилось через арабов, которые вели торговлю с этими народами.
Мы не можем точно установить, как произошли наши цифры. Точно не знаем мы, почему ноль стали изображать кружком. Возможно, в древности на абак клали кружки и, когда стали считать на бумаге, пустой кружок обратился в кружок, нарисованный на бумаге – ноль (0). А некоторые ученые предполагают, что кружочек ноля разросся и округлился из точки, которую раньше индусы ставили вместо ноля. В любом случае, изобретение ноля было очень важно для развития счета.
Белоусова Арина
Выступление на Школьной научно-практической конференции об истории возникновения арабских цифр.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное автономное образовательное учреждение лицей №42
Октябрьского района городского округа город Уфа
Республики Башкортостан
Номинация: математика
Секция: математика
Тема работы:
История возникновения цифр
Работу выполнила:
Белоусова Арина Михайловна
Класс 2 Д
Руководитель
Нуруллина Татьяна Петровна Классный руководитель
Уфа 2013
Введение.
2. Как считали древние люди
3. Цифры у разных народов
4. Цифры нашего времени
5. Заключение
6. Приложения
7. Литература
Введение
С самого раннего возраста человек сталкивается с необходимостью считать. Однако, научившись считать, люди мало знают о том, откуда появились числа, кто придумал использовать ту или иную форму записи числа. Проведенный мною опрос показал, что некоторые обучающиеся нашего класса, а также наши родители не смогли дать ответ на вопрос: « Как и где возникли первые числа?». Встречаясь с цифрами на каждом шагу, мы настолько привыкли к их существованию, что вряд ли задумываемся, а откуда же они взялись. А, между прочим, история их возникновения чрезвычайно увлекательна. Поэтому я решила изучить историю возникновения чисел и представить полученный материал другим обучающимся, который можно так же использовать на уроках математики.
Цель: Узнать историю возникновения цифр
Задачи:
1.Изучить имеющуюся литературу по теме.
2.Определить, как появились цифры
3.Выяснить, как считали древние люди, которые не знали цифр.
4.Собрать информацию о цифрах других народов
В современных условиях очень важно каждому человеку правильно понимать законы чисел. Числа – являются необходимой частью математики. Отсюда-актуальность темы.
1. Из истории возникновения чисел
Учится считать, люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь. Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним не справишься. Командовал облавой обычно самый старый и опытный охотник. Что бы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счета никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь». Он мог показать числа на пальцах рук.
2. Как считали древние люди
Сначала были…пальцы. Весьма универсальное, удобное и сподручное средство для счёта. Его используют и до сих пор, правда, лишь в том случае, если нужно показать небольшое, ограниченное одним десятком число (здесь учитываем лишь возможности рук, пальцы ног не в счёт).
Пальцы сыграли немаловажную роль в истории счета. Особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая поменять, сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого вальца его руки нужно положить шкуру. Одна пятерня означала 5, две – 10. Не удивительно, что очень быстро назрела потребность в других, более совершенных символах счёта. Когда рук не хватало, вход шли и ноги. Две руки и одна нога – 15, две руки и две ноги – 20.
3. Цифры у разных народов
На протяжении истории каждый народ писал числа, считал и вычислял с их помощью. У разных народов было свое, определенное написание чисел (см. приложение 1).
Первое подобие цифр возникло около пяти тысяч лет назад в Египте и Месопотамии и представляло собой засечки на дереве или камнях. Египетские жрецы использовали для письма папирус, а в Месопотамии для этих целей служила мягкая глина. Единица изображалась колом, десяток - как бы парой рук, сотня - свернутым пальмовым листом, тысяча - цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч - лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила (см. приложение 2).
Не всем для записи чисел понадобилось столько символов. Например, майя в первом тысячелетии нашей эры писали любое число, используя лишь три знака: точку, линию и эллипс (см. приложение 3). Точка означала единицу, линия имела значение пяти, а эллипс, находясь под любым из этих знаков, увеличивал его значение в двадцать раз. Подобная минимизация отнюдь не приводила к упрощению записи: для обозначения того или иного числа приходилось использовать длинные ряды символов.
Следующий этап в истории цифр принадлежит древним римлянам. Изобретенная ими система исчисления основана на использовании букв для отображения чисел (римские цифры). Но это было очень не удобно - записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить было невозможно. Все действия надо производить в уме. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать или вычитать потому, что каждая римския цифра означает всюду, где бы она ни стояла, одно и то же число (см. приложение 4).
4. Цифры нашего времени
Современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение. Хотя арабы в свою очередь заимствовали их у индусов, видоизменив их и приспособив к своему письму. Характер написания каждой из девяти арабских цифр хорошо прослеживается, если записать их в «угловатой» форме (см. приложение 5). Количество углов каждой цифры соответствует количеству, которое эта цифра обозначает. Привычные, нам формы цифр, более округлые. Это влияние скорописи: так цифры записывать быстрее и удобнее (см. приложение 6).
Десятичная система, которой широко пользуется в настоящее время во всем мире, более совершенна. Вместо палочек, взятых от одной до девяти, используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т.д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для записи десятков, сотен и т.д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа.
Народы пришли к этой системе постепенно. Она зародилась в Индии в V веке. В IХ веке ею уже владели арабы, в Х она дошла до Испании, а в ХII веке появилась в других странах Европы, но широкое распространение получила в ХVI веке. Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения нуля система стала совершенной.
Сейчас мы постоянно пользуемся числами. Используем их, чтобы измерять время, покупать и продавать, звонить по телефону, смотреть телевизор, водить автомобиль. К тому же у каждого человека есть различные числа, идентифицирующие лично его. Например, в удостоверении личности, в банковском счете, в кредитной карточке и т.д. Более того, в компьютерном мире вся информация, и этот текст в том числе, передается посредством числовых кодов.
Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько к ним привыкли, что почти не отдаем себе отчета, насколько важную роль они играют в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления.
5. Заключение
В ходе выполнения данной работы, мною были прочитаны, рассмотрены книги и сайты об истории чисел и цифр. Я узнала как люди научились считать, как появились цифры которые мы используем в нашей жизни.
Изученный материал я обобщила и предоставила своим одноклассникам.
6. Приложения