Уравнение касательной к графику функции.

Пусть дано уравнение f(x) = 0 . Число x называется корнем данного уравнения, если оно, будучи подставленным в уравнение, обращает его в равенство, то есть f(x) = 0 . Число x называют нулем функции f(x) .Нахождение корней уравнения с определенной точностью можно разделить на два этапа:

1) отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a, b ] значения разных знаков, то есть f(a)× f(b) < 0 , то внутри этого отрезка найдется нуль функции.

Для отделения (или локализации) корня уравнения f(x) = 0 для непрерывной в области определения функции f(x) можно составить таблицу значений функции у = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х . Если для некоторых соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.

Пусть дано уравнение f(x) = 0 , где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ] и f(a)× f(b) < 0 .Для вычислениякорня данного уравнения
x Î [a, b ] находится середина этого отрезка x 1 = 0,5(a+b) . Если f(x 1) ¹ 0 , то для продолжения вычислений выбирается та из частей данного отрезка
[a, х 1 ] или [х 1 , b ] , на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначаются а 1 и b 1 . Новый отрезок [a 1 , b 1 ] снова делится пополам и производятся вычисления по изложенной схеме и так далее. В результате получается либо точный корень заданного уравнения на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [a, b ] ,
[a 1 , b 1 ] , … , [a n , b n ] , …, таких что:

f(a n)× f(b n) < 0 , n =1, 2, …

Число x - общий предел последовательностей (а n) и (b n) – является корнем уравнения f(x) = 0 .

Оценка погрешности решения на n -ом шаге вычислений имеет вид.

Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y (n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример . Решить уравнение xy""=1 . Можем записать , следовательно, y"=ln|x| + C 1 и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. В уравнениях вида F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y (k) = z(x). Тогда y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z",..,z (n - k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n - k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример 1 . Решить уравнение x 2 y"" = (y") 2 . Делаем замену y"=z(x) . Тогда y""=z"(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z"=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем
Пример 2 . Решить уравнение x 3 y"" +x 2 y"=1 .Делаем замену переменных: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Откуда: u"=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c 1 /x. Поскольку y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Ответ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y",y"",…,y (n))=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y"=p(y) , где p - новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример . Решить уравнение (y") 2 +2yy""=0 . Делаем стандартную замену y"=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y"=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Примеры .
1. Если обе части уравнения yy"""=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y"+1))" = (lny)" . Из последнего соотношения следует, что ln(y"+1) = lny + lnC 1 , или y"=C 1 y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.


2.2 Методика решения уравнений и неравенств

Уравнения и неравенства традиционная тема школьного курса математики, занимающая большое место, начиная с младших классов, где простейшие уравнения и неравенства до введения теории на основе свойств арифметических действий, и кончая старшими классами, где решаются трансцендентные уравнения.

Уравнения и неравенства представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разного рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математические модели.

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Одну из наиболее часто встречающихся идей хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

1. Решить неравенство: .

Решение. Есть два стандартных пути решения: возведение в квадрат (при условии
; если же
, неравенство выполняется) и замена неизвестного
.

Рассмотрим еще один способ – нестандартный. Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в первой части убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение
x 0 – решение этого уравнения, то при
будет, а решением данного неравенства будет
. Значение x 0 легко подбирается: x 0 = 1.

Ответ .
.

2. Решить уравнение:
.

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение x = 1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим
. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ . x = 1.

Итак, основная идея, на которой основывались решения этих двух примеров, весьма проста: если f (x ) монотонно возрастает, а φ (x) монотонно убывает, то уравнение f (x ) = φ (x ) имеет не более одного решения, причем если x = x 0 – решение этого уравнения, то при x > x 0 (x входит в область определения обеих функций f (x ) и φ (x ) ) будет f (x ) > φ (x ) , а при x x 0 будет

f (x ) φ (x ) .

Стоит обратить внимание на одну модификацию этой идеи, а именно: если f (x ) – монотонная функция, то из равенства f (x ) = f (y ) следует, что x = y .

3. Решить уравнение: .

Решение. Преобразуем уравнение:

Рассмотрим функцию
.

Докажем, что при t > 1 эта функция монотонно убывает. Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную

и доказать, что при t > 1
. Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: , значит,
. Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ . x = 4 .

Уравнения вида f ( f ( x )) = x . При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f (x ) = x (А)

f (f (x )) = x (Б)

эквивалентны .

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x 0 ) = x 0 , то f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0 .). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x 0 такое, что f (f (x 0 )) = x 0 .Предположим, что f (x 0 ) ≠ x 0 и для определенности f (x 0 ) > x 0 . Тогда f (f (x 0 )) > f (x 0 ) > x 0 , что противоречит предположению ( f (f (x 0 )) = x 0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x ) монотонно возрастает, то при любом k уравнения
и f (x ) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы .

1. Решить уравнение: .

Решени е. Перепишем уравнение
. Рассмотрим функцию
. Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x )) = x . В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x ) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение:
.

Данное уравнение имеет вид: f (f (x )) = x , где
.

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение:
,

Ответ.
 .

3. Решить систему уравнений :
.

Решение. Рассмотрим функцию. Поскольку

При всех t , то f (t ) возрастает.

Система имеет вид y = f (x ), z = f (y ), x = f (z ), т.е. x = f (f (f (x ))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x ) = x или

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:
.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0.

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x ) = φ (x ) , для которых
при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x ) = φ (x ) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение: .

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем):
.

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что.

Пусть для определенности x 5 > x 4 , тогда из первых двух уравнений получим , откуда
и тем более
. Далее из третьего и четвертого получаем
и тем более
. Из последней пары находим
. Получилось противоречие ( и
, т.е.
, а предположили, что
).

Значит,
, отсюда
и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0);
.

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение
имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение. методике преподавания математики в средней школе : Учеб. пособие для студентов...

  • Обучение аудированию с опорой на видеоматериалы в старших классах средней школы

    Дипломная работа >> Педагогика

    ... старших классах средней школы . Глава 2 посвящена особенностям методики обучения аудированию на старшем ... умственной деятельности, повышению интереса к работе... задача весьма сложная. Для решения этой задачи ... задача подготовительного этапа - снять трудности ...

  • Методы решения уравнений содержащих параметр

    Дипломная работа >> Математика

    Изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики . Решение этой проблемы... задача повышенной трудности . При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач ...

  • Школа и общественное дошкольное воспитание в период восстановления и дальнейшего развития народного хозяйства СССР (1946-1958 гг.)

    Конспект >> Педагогика

    Учащихся старших классов средней школы . Если... классов средней школы . На протяжении более двух десятилетий училищам приходилось решать одновременно две задачи ... раскрывали методику руководства ими... решения поставили вопрос о повышении ... нарастания трудности и...

  • Методика использования эвристического метода

    Реферат >> Социология

    ... методике использования эвристического метода преподавания материала по логарифмической функции в 11 классе средней школы ... обучающийся в старшем классе средней школы , уже включен... навыки: - решение задач на логарифмы + + - решение задач повышенной трудности + - ...