Известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.
Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.
Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.
Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).
Источники:
- Большой Энциклопедический Словарь - Смежные углы
- угол 180 градусов
Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.
Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.
В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 развернутого угла. Величина угла – это число, показывающее, во раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в рассматриваемой фигуре.
Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла считается равной сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом на плоскости, ограниченной его сторонами.
От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с некоторой градусной мерой, не превышающей 180 . Причем такой угол будет только один. Мерой плоского угла, который является частью полуплоскости, считается градусная мера угла с аналогичными сторонами. Мерой плоскости угла, содержащего полуплоскость, является значение 360 – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.
Градусная мера угла дает возможность перейти от геометрического их описания к числовому. Так, под прямым углом понимается угол, равный 90 градусам, тупой угол – это угол, меньше 180 градусов, но больше 90, острый угол не превышает 90 градусов.
Помимо градусной, существует радианная мера угла. В планиметрии длина как L, радиус – r, а соответствующий центральный угол – α. Причем эти параметры связаны соотношением α = L/r. Эта лежит в основе радианной меры измерения углов. Если L=r, то угол α будет равен одному радиану. Итак, радианная мера угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги. Полный оборот в градусном измерении (360 градусов) соответствует 2π в радианном. Один 57,2958 градусам.
Видео по теме
Источники:
- градусная мера углов формула
2)Сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3)Объясните что такое отрезок?
4)Объясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5)Какая фигура называется углом?Объясните что такое вершина и стороны угла?
6)Какой угол называется развернутым?
7)Какие фигуры называют равными?
8)Объясните как сравнить 2 отрезка
9)Какая точка называется серединой отрезка?
10)Объясните как сравнить 2 угла.
11)Какой луч называется биссектрисой угла?
12)Точка С делит отрезок АВ на 2 отрезка.Как найти длину отрезка АВ если известны длины отрезков АС и СВ?
13)Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14)Что такое градусная мера угла?
15)Луч ОС делит угол АОВ на 2 угла. Как найти градусную меру угла АОВ если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16)Какой угол называется острым?прямым?тупым?
17)Какие углы называют смежными?Чему равна сумма смежных углов?
18)Какие углы называются вертикальными?Каким свойством обладают вертикальные углы?
19)Какие прямы называются перпендикулярными?
20)Объясните почему 2 прямые перпендикулярные к 3-ей не пересекаются?
21)Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?
2сколько общих точек могут иметь две прямые?
3обьясните что такое отрезок
4обьясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5какая фигура называется углом? обьясните что такое вершина и стороны угла
6какой угол называется развёрнутым
7какие фигуры называются равными
8обьясните как сравнить два отрезка
9какая точка называется серединой отрезка
10обьясните как сравнить два угла
11какой луч называется биссектрисой угла
12точка с делит отрезок аб на два отрезка.Как найти длину отрезка аб если известны длины отрезков ас и сб
13какими инструментами пользуются для измерения расстояний
14что такое градусная мера угла
15луч ос делит угол аоб на два угла.Как найти градусную меру угла аоб,если известны меры углов аос в соб
16какой угол называется острым?,прямым?,тупым?.
17какие углы называются смежными?чему равна сумма смежных углов?
18какие углы называются вертикальными?каким свойством обладают вертикальные углы
19какие прямые называются перпендикулярными
20обьясните почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересикаются
21какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?
вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы 5)
Помогите плиз, !! плизз=**7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.
8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перепендикулярна одной из двух параллелных прямых, то она перепендикулярна и другой.
9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
11. Что такое внешний угол треугольника?
12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
14. Какой треугольник называется прямоугольным?
15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
1. Смежные углы.
Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, ∠АDF и ∠FDВ - углы смежные (рис. 73).
Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).
Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.
Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.
Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:
180° - 54° = l26°.
2. Вертикальные углы.
Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.
Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).
Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.
Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.
Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.
Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.
Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):
∠a + ∠c = 180°;
∠b + ∠c = 180°;
(так как сумма смежных углов равна 180°).
∠a + ∠c = ∠b + ∠c
(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).
В это равенство входит один и тот же угол с .
Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: ∠a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Другие материалыУглы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ - углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия
См. Угол … Большой Энциклопедический словарь
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь
См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь
- (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия
Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия
Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия
Книги
- О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
- Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…
Что такое смежный угол
Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
- два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.
Смежные углы - (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
рис. 2
На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 - дополнительные полупрямые.
рис. 3
На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D - точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.
Теорема о смежных углах
Теорема: сумма смежных углов равна 180°
Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.
Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° - тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом - тупой угол. А угол смежный с тупым углом - острый угол.
Смежные углы - два угла с общей вершиной, одна из сторон которых - общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.
Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
Определение 1.1.
Углом называют фигуру, состоящую из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:
Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.
Определение 3. Прямой угол - это угол величиной в 90 градусов.
Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.
Определение 5.
Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.
Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.
Определение 7.
Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.
рис. 4
Связь математики с музыкой
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.
Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)
Геометрия вокруг нас
Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.
Задание 1.
1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?
Задание 2.
Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.
Задание 3.
Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.
Решение задач
1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними - как 7: 5. Нужно найти эти углы.2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.
Математический диктант на повторение ранее выученного материала
1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а - через а1 и а2, а прямой b - через b1 i b2.2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку...
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку...
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = ..., потому что...
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = ..., потому что...
Решите задачи:
1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.
3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:
а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.
Итог урока
1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.
Домашнее задание:
1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.
Вопросы:
- Что такое угол?
- Какие бывают типы углов?
- Какая особенность смежных углов?