Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .
Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
.
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :
.
При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :
.
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F (x ) - парабола:
График функции f (x ) - прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то
.
x > 10 , то F (x ) = 1 .
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
График функции f (x ) :
График функции F (x ) :
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .
Решение. По условию приходим к равенству
Следовательно, , откуда . Итак,
.
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения 
.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называют первую производную от интегральной функции распределения: f(x)=F’(X). Из этого определения и свойств функции распределения следует, что
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число
Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством
Пример 79. Плотность распределения времени Т сборки РЭА на поточной линии
Найти коэффициент A , функцию распределения времени сборки РЭА и вероятность того, что время сборки будет находиться в пределах интервала (0,1А).
Решение. На основании свойства функции распределения случайной величины
Дважды интегрируя по частям, получаем
Функция распределения равна
Вероятность того, что время сборки РЭА не выйдет за пределы (0; 1/λ):
Пример 80 . Плотность вероятности отклонения выходного сопротивления блока РЭА от номинального значения R 0 в пределах поля допуска 2δ описывается законом
Найти математическое ожидание и дисперсию отклонения сопротивления от номинального значения.
Решение.
Поскольку подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, интеграл равен 0.
Следовательно, M {R } = 0.
Сделав подстановку r = a sin x , получим
Пример 81. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти: 1. F(x); 2. M(X); 3. Д(X).
Решение.
1. Для отыскания F(x) используем формулу
Если
,
то
а
Если
, то
Если
,то
f(x)=0, а
3.
Дважды интегрируя по частям получим:
, тогда
82. Найти f(x), M(X), Д(X) в задачах 74, 75.
83. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
84. Плотность
распределения непрерывной случайной
величины X задана на всей оси Ох равенством
.
Найти постоянный параметр С.
85. Случайная
величина X в интервале (-3, 3) задана
плотностью распределения
;
вне этого интервала
а) Найти дисперсию X;
б) что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или X>1?
86. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения
87. Случайная величина задана функцией распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.
§8. Равномерное и показательное распределения
Равномерным называют распределение непрерывной случайной величины X, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала равна нулю, т.е.
Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью
где λ – постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны
;
;
Пример 88. Цена деления шкалы амперметра равна 0,10А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.
Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале (0;0,1) между двумя целыми делениями. Следовательно,
Тогда
.
Пример 89. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что за время длительностью t=100 часов: a) элемент откажет; б) элемент не откажет.
Решение.
а) По
определению
,
следовательно она определяет вероятность
отказа элемента за время t, поэтому
б) Событие «элемент не откажет» является противоположным рассмотренному, поэтому его вероятность
90. Радиоэлектронный блок собирается на поточной линии, такт сборки 2 мин. Готовый блок снимается с конвейера для контроля и регулировки в произвольный момент времени в пределах такта. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени нахождения готового блока на конвейере. Время нахождения блока на конвейере подчиняется закону равномерного распределения случайных величин.
91.
Вероятность выхода из строя РЭА за
определенное время выражается формулой
.
Определить среднее время работы РЭА до
выхода из строя.
92. Разрабатываемый спутник связи должен характеризоваться средним временем наработки на отказ 5 лет. Считая реальное время наработки на отказ случайной экспоненциально распределенной величиной, определите вероятность того, что
а) спутник проработает менее 5 лет,
б) спутник проработает не менее 10 лет,
в) спутник откажет в течение 6-го года.
93. Некий квартиросъемщик купил четыре лампочки накаливания со средним сроком службы 1000 ч. Одну из них он установил в настольную лампу, а остальные оставил про запас, на случай, если лампа перегорит. Определите:
а) ожидаемую суммарную продолжительность службы четырех ламп,
б) вероятность того, что четыре лампы в сумме проработают 5000 часов или более,
в) вероятность того, что общий срок службы всех ламп не превысит 2000 часов.
94. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
95. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
96. Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
97. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
98.
Испытывают два независимо работающих
элемента. Длительность времени безотказной
работы первого элемента имеет показательное
распределение
, второго
.
Найти вероятность того, что за время
длительностью t=6 ч: а) оба элемента
откажут; б) оба элемента не откажут; в)
только один элемент откажет; г) хотя бы
один элемент откажет.
Глава 1. Дискретная случайная величина
§ 1.Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).
Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Функция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);
3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;
4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:
то функция распределения F(x) определяется формулой:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 при х≤ x1,
р1 при x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3
1 при х> хn.
Её график изображен на рис.2:
§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С Х)=С М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .
Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х - случайная величина;
3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины; Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0; Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1, 0,1 при -1<х≤0, 0,2 при 0<х≤1, F(x)= 0,5 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 Изобразим функцию F(x)графически (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение:
Биномиальным
называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где - «выпадения не пятерки». Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3. Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид: Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Найдем числовые характеристики случайной величины Х: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Задача№4.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется: а) 5 бракованных; б) хотя бы одна бракованная. Решение:
Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона: Рn(m)= e
-
λ
λm
Найдем λ=np=1000 0,002=2. а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5): Р1000(5)= e
-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь. Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e
-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Задачи для самостоятельной работы.
1.1
1.2.
Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения: Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х). 1.3.
В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.4.
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины. 1.5.
В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график. 1.6.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X). 1.7.
Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков. 1.8.
На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х). 1.9.
В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины. 1.10.
Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x). 1.11.
Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X). 1.12.
Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов. 1.13
.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов. 1.15.
Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) четыре бракованные книги, б) менее двух бракованных книг. 1
.16.
Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит: а) два вызова; б)хотя бы один вызов. 1.17.
Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y. 1.18.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин: Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y. Ответы:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1.
р3=0,4; 0 при х≤-2, 0,3 при -2<х≤0, F(x)= 0,5 при 0<х≤2, 0,9 при 2<х≤5, 1 при х>5 0,3 при -1<х≤0, 0,4 при 0<х≤1, F(x)= 0,6 при 1<х≤2, 0,7 при 2<х≤3, 1 при х>3 M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0, 0,03 при 0<х≤1, F(x)= 0,37 при 1<х≤2, 1 при х>2 M(Х)=2; D(Х)=0,62 M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈ M(Х)=2,4; D(Х)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.
M(Х)=2; D(Х)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а)0,0189; б) 0,00049 1.16.
а)0,0702; б)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Глава 2.
Непрерывная случайная величина
Определение:
Непрерывной
называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения. Определение:
Функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения. Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1 2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. 3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х 4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения). Определение
:
Плотностью распределения вероятностей
f
(
x
)
непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.: Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей
.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤2, f(x)= с(х-2) при 2<х≤6, 0 при х>6. Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5) Решение:
+
∞ а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1. Следовательно, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2, F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6, 1 при х>6. График функции F(х) изображен на рис.3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0, F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3, 1 при х>√3. Найти дифференциальную функцию распределения f(х) Решение:
Т. к.f(х)= F’(x), то https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных. Задача №3.
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Задачи для самостоятельного решения.
2.1.
Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения: 0 при х≤0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3, 1 при х> π/3. Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 при х≤2, f(х)= с х при 2<х≤4, 0 при х>4. 2.4.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 при х≤0, f(х)= с √х при 0<х≤1, 0 при х>1. Найти: а) число с; б) М(Х), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4). 2.6.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: f(х)= 2(х-2) при х, 0 при х . Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку . 2.7.
Функция f(х) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2]. 2.8.
Функция f(x) задана в виде: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x). 2.9.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7. 2.10.
Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)). 2.12.
Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">. Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Распределение Ремя задается плотностью вероятности: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0. Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей. 2.14.
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) 2.16.
Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси. Ответы
0 при х≤0, f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6, F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3, 0 при х> π/3.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 при х≤а, f(х)= при a<х 0 при х≥b. График функции f(x) изображен на рис. 1 F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Задача№1.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти: а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график; б) функцию распределения F(x) и построить ее график; в) M(X),D(X), σ(Х). Решение:
Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7, 0 при х>7 Построим ее график (рис.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0, f(х)= λе-λх при х≥0. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле: Р(a<Х Задача №2.
Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) плотность распределения вероятностей; б) функцию распределения; в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч. Решение:
По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0, а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0. б) F(x)= 0 при х<0, 1- е -0,01х при х≥0. в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения: Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3. §
3.Нормальный закон распределения
Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса),
если ее плотность распределения имеет вид: где m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой
(рис.7) Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: где - функция Лапласа. Замечание:
Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2. График функции распределения F(x) изображен на рис. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле: В частности, при m=0 справедливо равенство: «Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к. https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а) б) Воспользуемся формулой: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Итак, искомая вероятность: P(28 Задачи для самостоятельной работы
3.1.
Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите: б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(4<х<6). 3.2.
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите: а) плотность распределения f(x); б)функции распределения F(x); в)числовые характеристики; г)вероятность Р(3≤х≤6). 3.3.
На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь. 3.4.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда. 3.5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-8х при х≥0. 3.6.
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,7 е-0,7х при х≥0. а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины. б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х. 3.7.
Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей: f(x)= 0 при х<0, 0,4 е-0,4 х при х≥0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5). 3.8.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: F(x)= 0 при х<0, 1-е-0,6х при х≥0 Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.9.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14). 3.10.
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка . 3.11.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность? 3.12.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью? 3.13.
Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти: а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.; б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции. 3.14.
Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г. 3.15.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ. 3.16.
Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х. 3.17.
Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат? 3.18.
Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала. Ответы
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> б) 0 при х≤-3, F(х)= left"> 3.10.
а)f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция». Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1 Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(aX Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Как известно, случайной величиной
называется переменная величина, которая может
принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают
заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными
буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные. Дискретной случайной величиной
называется случайная величина, принимающая лишь
конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины
называется
функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть
задан одним из следующих способов. 1
. Закон распределения может быть задан таблицей:
где λ>0, k = 0, 1, 2, … . в)
с помощью функции распределения F(x)
, определяющей для каждого значения x
вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x). Свойства функции F(x) 3
. Закон распределения может быть задан графически
– многоугольником
(полигоном) распределения (смотри задачу 3). Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать
одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это
может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число,
показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения.
Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
: Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на
10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить
закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет. Решение.
По условию задачи возможны следующие значения случайной
величины X: 0, 10, 50, 100 и 500. Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01,
P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы: Найдем математическое ожидание величины Х:
М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа
отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения
F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины. Решение.
1.
Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в
одном опыте} имеет следующие возможные значения: х 1 =0 (ни один из элементов устройства не
отказал), х 2 =1 (отказал один элемент), х 3 =2 (отказало два элемента) и х 4 =3 (отказали три
элемента). Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой,
поэтому применима формула
Бернулли
. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим
вероятности значений: Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид: По оси абсцисс откладываем возможные значения х i , а по оси ординат –
соответствующие им вероятности р i . Построим точки М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243),
М 3 (2; 0,027), М 4 (3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения. 3.
Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х График функции F(x) 4.
Для биномиального распределения Х:
1.2.
р4=0,1; 0 при х≤-1,
(рис.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,
,
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .
,
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ
Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λПримеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной
случайной величины»
Задача 1.
Задача 3.
P 3 (0) = С 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = С 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = С 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = С 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.
- математическое ожидание М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.