Дисперсия в статистике определяется как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. Распространенный способ расчета квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.
В экономически-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения, оно представляет собой корень квадратный из дисперсии.
(3)
Характеризует абсолютную колеблемость значений варьирующего признака выражается в тех же единицах измерения, что и варианты. В статистике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Для таких сравнений используется относительный показатель вариации, коэффициент вариации.
Свойства дисперсии:
1)если из всех вариант вычесть какое-либо число, то дисперсия от этого не изменится;
2) если все значения вариант разделить на какое-либо число b, то дисперсия уменьшится в b^2 раз, т.е.
3) если исчислить средний квадрат отклонений от какого-либо числа с неравного средней арифметической, то он будет больше дисперсии . При этом на вполне определенную величину на квадрат разности между средней величиной поc.
Дисперсию можно определить как разницу между средним квадратом и средней в квадрате.
17. Групповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсии
Если статистическая совокупность разбита на группы или части по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: групповые (частные), средне групповые (частных), и межгрупповая.
Общая
дисперсия
–
отражает вариацию признака за счет всех
условий и причин, действующих в данной
статистической совокупности.
Групповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, называемой групповой средней. При этом групповая средняя не совпадает с общей средней для всей совокупности.
Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.
Средняя групповых дисперсий - определяется как среднее взвешенное арифметическое из дисперсий групповых, причем весами являются объемы групп.
Межгрупповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.
Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней групповой и межгрупповой дисперсии.
Это соотношение называется правилом сложения дисперсии.
18. Динамический ряд и его составные элементы. Виды динамических рядов.
Ряд в статистике - это цифровые данные, показывающие, изменение явления во времени или в пространстве и дающие возможность производить статистическое сравнение явлений как в процессе их развития во времени, так и по различным формам и видам процессов. Благодаря этому можно обнаружить взаимную зависимость явлений.
Процесс развития движения социальных явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя (например, число осуждённых за 10 лет), расположенных в хронологическом порядке. Их составными элементами являются цифровые значения данного показателя и периоды или моменты времени, к которым они относятся.
Важнейшая характеристика рядов динамики - их размер (объём, величина) того или иного явления, достигнутых в определённых период или к определённому моменту. Соответственно, величина членов ряда динамики - его уровень. Различают начальный, средний и конечный уровни динамического ряда. Начальный уровень показывает величину первого, конечный - величину последнего члена ряда. Средний уровень представляет собой среднюю хронологическую вариационного рада и исчисляется в зависимости от того, является ли динамический ряд интервальным или моментным.
Ещё одна важная характеристика динамического ряда - время, прошедшее от начального до конечного наблюдения, или число таких наблюдений.
Существуют различные виды рядов динамики, их можно классифицировать по следующим признакам.
1) В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных и производных показателей (относительных и средних величин).
2) В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определённые моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определённые интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Моментные ряды в аналитической работе правоохранительных органов используются сравнительно редко.
В теории статистики выделяют рады динамики и по ряду других классификационных признаков: в зависимости от расстояния между уровнями - с равностоящими уровнями и неравностоящими уровнями во времени; в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса - стационарные и не стационарные. При анализе динамических рядов исходят из следующего уровни ряда представляют в виде составляющих:
Y t = TP + Е (t)
где ТР – детерминированная составляющая определяющая общую тенденцию изменения во времени или тренд.
Е (t) – случайная компонента, вызывающая колеблимость уровней.
В случае, если совокупность разбита на группы по изучаемому признаку, то для данной совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: общая, групповые (внутригрупповые), средняя из групповых (средняя из внутригрупповых), межгрупповая.
Первоначально рассчитывает коэффициент детерминации, который показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком:
Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным (факторным) и результативным.
Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.
Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:
Пример 4. Имеются следующие данные о выполнении работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности:
Определить:
1) общую дисперсию;
2) групповые дисперсии;
3) среднюю из групповых дисперсий;
4) межгрупповую дисперсию;
5) общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий;
6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение:
1. Определим средний объём выполнения работ предприятий двух форм собственности:
Рассчитаем общую дисперсию:
2. Определим групповые средние:
млн руб.;
млн руб.
Групповые дисперсии:
;
3. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
4. Определим межгрупповую дисперсию:
5. Рассчитаем общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий:
6. Определим коэффициент детерминации:
.
Таким образом, объём работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% зависит от формы собственности предприятий.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитываем по формуле
.
Величина рассчитанного показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика.
Пример 5. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные:
Определите коэффициент детерминации
Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.
Сначала рассмотрим дисперсию , затем стандартное отклонение .
Дисперсия выборки
Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, sample variance ) характеризует разброс значений в массиве относительно .
Все 3 формулы математически эквивалентны.
Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.
дисперсии выборки используется функция ДИСП() , англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В() , англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В() , у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР() .
Дисперсию выборки
=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)
=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)
– обычная формула
=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1
) –
Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению . Обычно, чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве.
Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка . О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье .
Дисперсия случайной величины
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее .
Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]
дисперсия вычисляется по формуле:
где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.
Если случайная величина имеет , то дисперсия вычисляется по формуле:
Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .
Некоторые свойства дисперсии :
Var(Х+a)=Var(Х), где Х - случайная величина, а - константа.
Var(aХ)=a 2 Var(X)
Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)-2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию .
Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y - случайные величины, Cov(Х;Y) - ковариация этих случайных величин.
Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе .
Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1) 2 Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения .
Стандартное отклонение выборки
Стандартное отклонение выборки - это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их .
По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :
Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.
Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) - отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому , выраженного в процентах.
В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН() , англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В() , англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.
Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.
Стандартное отклонение
можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера
)
=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
Другие меры разброса
Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму квадратов отклонений значений от их среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г(Выборка )*СЧЁТ(Выборка ) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:
Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.
Вычисления в функции СРОТКЛ () производятся по формуле:
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается 2 . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
дисперсия невзвешенная (простая);
дисперсия
взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т. д.).
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается :
среднее
квадратическое отклонение невзвешенное;
среднее
квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.
Порядок расчета дисперсии взвешенной следующий:
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную:
2) рассчитывают отклонения вариантов от средней:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта от средней:
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5) суммируют полученные произведения:
6) полученную сумму делят на сумму весов:
Пример 2.1
Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице. Определим дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение будет равно:
Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения , то сначала нужно определить дискретное значение признака, а затем применить изложенный метод.
Пример 2.2
Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы.
Средняя арифметическая равна:
Исчислим дисперсию:
6.3. Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.
Дисперсия имеет следующие свойства.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсию не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсию не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение в k раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величинами:
Если А 0, то приходим к следующему равенству:
т. е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую :
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта ряда:
х i 2 .
4) находят сумму квадратов вариантов:
5) делят сумму квадратов вариантов на их число, т. е. определяют средний квадрат:
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:
Пример 3.1 Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:
Произведем следующие расчеты:
В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.
1. Математическое ожидание неслучайной величины
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
.
2. Дисперсия неслучайной величины
Если - неслучайная величина, то
3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания
, (10.2.1)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.
Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
.
4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
, (10.2.2)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
,
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин
Докажем, что для любых двух случайных величин и
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:
.
Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :
;
следовательно,
.
Аналогично докажем, что
,
и теорема доказана.
б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)
. (10.2.4)
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
;
аналогично
,
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
, (10.2.5)
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
6. Математическое ожидание линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :
где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что
, (10.2.6)
т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:
.
7. Дисп ep сия суммы случайных величин
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
,
(10.2.10)
где
-
корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование
распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин 
.
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:
, (10.2.11)
где
двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы
величин ,
содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины , входящие в систему,
некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:
, (10.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
8. Дисперсия линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.
где - неслучайные величины.
Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой
, (10.2.13)
где - корреляционный момент величин , .
Доказательство. Введем обозначение:
. (10.2.14)
Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:
где - корреляционный момент величин :
.
Вычислим этот момент. Имеем:
;
аналогично
Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).
В частном случае, когда все
величины некоррелированны,
формула (10.2.13) принимает вид:
, (10.2.16)
т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
9. Математическое ожидание произведения случайных величин
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин
Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии
Так как величины независимы, и
При независимых величины тоже независимы; следовательно,
,
Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
11. Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
Доказательство.
откуда по теореме умножения математических ожиданий
Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
где - дисперсии величин и .
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.