Суть каузальных методов прогнозирования состоит в установлении математической связи между результирующей и факторными переменными.
Необходимым условием применения каузальных методов прогнозирования является наличие большого объема данных. Если связи между переменными удается описать математически корректно, то точность каузального прогноза будет достаточно высокой.
К каузальным методам прогнозирования относятся:
многомерные регрессионные модели,
имитационное моделирование.
1.4.1 Многомерные регрессионные модели
Многомерная регрессионная модель – это уравнение с несколькими независимыми переменными.
Для построения многомерной регрессионной модели могут быть использованы различные функции, наибольшее распространение получили линейная и степенная зависимости:
В линейной модели параметры (b 1 , b 2 , … b n) интерпретируются как влияние каждой из независимых переменных на прогнозируемую величину, если все другие независимые переменные равны нулю.
В степенной модели параметры являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменится в среднем результат (y) с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Для расчета параметров уравнений множественной регрессии также используется метод наименьших квадратов.
При построении регрессионных моделей решающую роль играет качество данных. Сбор данных создает фундамент прогнозам, поэтому имеется ряд требований и правил, которые необходимо соблюдать при сборе данных.
Во-первых, данные должны быть наблюдаемыми , т.е. получены в результате замера, а не расчета.
Во-вторых, из массива данных необходимо исключить повторяющиеся и сильно отличающиеся данные . Чем больше неповторяющихся данных и чем однороднее совокупность, тем лучше будет уравнение. Под сильно отличающимися значениями понимается наблюдения исключительно не вписывающиеся в общий ряд. Например, данные о зарплате рабочих выражены четырех- и пятизначными числами (7 000, 10 000, 15 000), но обнаружено одно шестизначное число (250 000). Очевидно, что это ошибка.
Третье правило (требование) – это достаточно большой объем данных . Мнения статистиков относительно того, сколько необходимо данных для построения хорошего уравнения расходятся. По мнению одних, данных необходимо в 4-6 раз больше числа факторов. Другие утверждают, что не менее чем в 10 раз больше числа факторов, тогда закон больших чисел, действуя в полную силу, обеспечивает эффективное погашение случайных отклонений от закономерного характера связи.
Построение многомерной регрессионной модели в
MS
Excel
В электронных таблицах Excel имеется возможность построения только лишь линейной
многомерной регрессионной модели.
, (1.19)
Для этого необходимо выбрать пункт «Анализ данных»,
а затем в появившемся окне - инструмент «регрессия»
Рисунок 1.45 – Диалоговое окно инструмента «Регрессия»
В появившемся окне необходимо заполнить ряд полей, в том числе:
Входной интервал Y –диапазон данных, из одного столбца, содержащих значения результирующей переменной Y.
Входной интервал Х – это диапазон данных, содержащих значения факторных переменных.
Если первая строка или первый столбец входного интервала содержит заголовки, то необходимо установить флажок в поле «метки» .
По умолчанию применяется уровень надежности 95%. Если хотите установить другой уровень, установите флажок и в поле рядом введите желаемый уровень надежности.
Флажок «Константа-ноль»
необходимо пометить только в том случае, если вы хотите получить уравнение регрессии без свободного члена а
, так чтобы линия регрессии прошла через начала координат.
Вывод результатов расчетов может быть организован 3 способами:
в диапазон ячеек этого рабочего листа (для этого в поле «Выходной диапазон» определите левую верхнюю ячейку диапазона, куда будут выводиться результаты расчетов);
на новый рабочий лист (в поле рядом можно ввести желаемое название этого листа);
в новую рабочую книгу .
Установка флажков «Остатки»
и «Стандартизированные остатки»
заказывает их включение в выходной диапазон.
Чтобы построить график остатков для каждой независимой переменной, установите флажок «График остатков».
Остатки
иначе называют ошибками прогнозирования. Они определяются как разность между фактическими и прогнозируемыми значениями Y.
Интерпретация графиков остатков
В графиках остатков не должно быть закономерности. Если закономерность прослеживается, то это значит, что в модель не включен какой-то не известный нам, но закономерно действующий фактор, о которых нет данных.
При установке флажка «График подбора» будет выведена серия графиков, показывающих насколько хорошо теоретическая линия регрессии подобрана к наблюдаемым, т.е. фактическим данным.
Интерпретация графиков подбора
В Excel на графиках подбора красными точками обозначаются теоретические значения Y
, синими точками - исходные данные. Если красные точки хорошо накладываются на синие точки, то это визуально свидетельствует об удачном уравнении регрессии.
Необходимым этапом прогнозирования на основе многомерных регрессионных моделей является оценка статистической значимости уравнения регрессии, т.е. пригодности построенного уравнения регрессии для использования в целях прогнозирования. Для решения этой задачи в MS Excel рассчитывается ряд коэффициентов. А именно:
Множественный коэффициент корреляции
Характеризует тесноту и направленность связи между результирующей и несколькими
факторными переменными. При двухфакторной зависимости множественный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
, (1.20)
Множественный коэффициент детерминации ( R 2 ).
R 2 – это есть доля вариации теоретической величины относительно фактических значений у, объясненная за счет включенных в модель факторов. Остальная доля теоретических значений зависит от других, не участвующих в модели факторов. R 2 может принимать значения от 0 до 1. Если , то качество модели высокое. Этот показатель особенно полезен для сравнения нескольких моделей и выбора наилучшей.
Нормированный коэффициент детерминации R 2
У показателя R 2 есть недостаток, состоящий в том, что большие значения коэффициента детерминации могут достигаться благодаря малому числу наблюдений. Нормированный обеспечивает информацией о том, какое значение вы могли бы получить в другом наборе данных значительно большего объема, чем в данном случае.
Нормированный рассчитывается по формуле:
, (1.21)
где - нормированный множественный коэффициент детерминации,
Множественный коэффициент детерминации,
Объем совокупности,
Количество факторных переменных.
Стандартная ошибка регрессии указывает приблизительную величину ошибки прогнозирования. Используется в качестве основной величины для измерения качества оцениваемой модели. Рассчитывается по формуле:
где - сумма квадратов остатков,
Число степеней свободы остатков.
Т.е стандартная ошибка регрессии показывает величину квадрата ошибки, приходящейся на одну степень свободы.
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||||
| Регрессионная статистика | |||||||||
| Множественный R | 0.973101 | ||||||||
| R-квадрат | 0.946926 | ||||||||
| Нормированный R-квадрат | 0.940682 | ||||||||
| Стандартная ошибка | 0.59867 | ||||||||
| Наблюдения | 20 | ||||||||
| Дисперсионный анализ | |||||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||||
| Регрессия | 2 | 108.7071 | 54.35355 | 151.6535 | 1.45E-11 | ||||
| Остаток | 17 | 6.092905 | 0.358406 | ||||||
| Итого | 19 | 114.8 | |||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95.0% | Верхние 95.0% |
||
| Y-пересечение | 1.835307 | 0.471065 | 3.89608 | 0.001162 | 0.841445 | 2.829169 | 0.841445 | 2.829169 |
|
| x1 | 0.945948 | 0.212576 | 4.449917 | 0.000351 | 0.49745 | 1.394446 | 0.49745 | 1.394446 |
|
| x2 | 0.085618 | 0.060483 | 1.415561 | 0.174964 | -0.04199 | 0.213227 | -0.04199 | 0.213227 |
|
Метод дисперсионного анализа состоит в разложении общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части:
объясненную регрессией (или факторную),
остаточную.
Пригодность регрессионной модели для прогнозирования зависит от того, какая часть общей вариации признака y приходится на вариацию объясненную регрессией. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений объясненная регрессией будет больше остаточной, то делают вывод о статистической значимости уравнения регрессии. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации приближается к единице.
Обозначения в таблице «Дисперсионный анализ»:
Второй столбец таблицы называется и означает число степеней свободы. Для общей дисперсии число степеней свободы равно: , для факторной дисперсии (или дисперсии, объясненной регрессией) , для остаточной дисперсии .
где n – это кол-во наблюдений,
m – кол-во факторных переменных модели.
Третий столбец таблицы называется . В нем представлена сумма квадратов отклонений. Общая сумма квадратов отклонений определяется по формуле:
, (1.24)
Факторная сумма квадратов:
, (1.26)
Четвертый столбец называется - среднее значение квадратов отклонений. Определяется по формуле:
С помощью F-критерия Фишера определяется статистическая значимость коэффициента детерминации уравнения регрессии. Для этого выдвигается нулевая гипотеза, которая утверждает, что между результирующей и факторными переменными связь отсутствует
. Это возможно лишь в том случае, когда все параметры уравнения множественной линейной регрессии и коэффициент корреляции равны нулю.
Для проверки этой гипотезы необходимо рассчитать фактическое значение F-критерия Фишера и сравнить его с табличным. Фактическое значение F-критерия рассчитывается по формуле:
, (1.28)
Выбирается из специальных статистических таблиц по:
заданному уровню значимости () и
числу степеней свободы.
В MS Excel табличное значение F-критерия может быть определено с помощью функции: =FРАСПОБР(вероятность; степени свободы1; степени свободы2)
Например: =FРАСПОБР(0,05;df1;df2)
Уровень значимости
1 выбирается на тот же, на котором вычислялись параметры регрессионной модели. По умолчанию установлено 95%.
Если , то выдвинутая гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии. В случае особо важных прогнозов табличное значение F-критерия рекомендуется увеличить в 4 раза, то есть проверяется условие:
=151.65; = 3.59
Расчетное значение значительно превышает табличное значение. Это значит, что коэффициент детерминации значимо отличается от нуля, поэтому гипотезу об отсутствии регрессионной зависимости следует отклонить.
Теперь оценим значимость коэффициентов регрессии на основе t
-критериия Стьюдента.
Он позволяет определить, какие из факторных переменных (х) оказывают наибольшее влияние на результирующую переменную (y).
Стандартные ошибки обычно обозначаются .
Нижний индекс обозначает параметр уравнения регрессии, для которого рассчитана эта ошибка
Рассчитывается по формуле:
, (1.29)
где - СКО для результирующей переменной,
СКО для признака ,
Коэффициент детерминации для уравнения множественной
регрессии,
Коэффициент детерминации для зависимости фактора со
всеми другими факторами уравнения.
Число степеней свободы для остаточной суммы квадратов
отклонений.
В MS Excel стандартные ошибки рассчитываются автоматически (располагаются в 3-ем столбце 3-ей таблицы).
Фактическое значение
t
-критерия Стьюдента
в MS Excel располагается в 4-ом столбце 3-ей таблицы и называется t-статистика.
(4 столбец) = (2 столбец) / (3 столбец)
t-статистика = Коэффициенты/ Стандартная ошибка
Табличное значение
t
-критерия Стьюдента
зависит от принятого уровня значимости (обычно ; 0,05; 0,01) и числа степеней свободы .
где n – число единиц совокупности,
m – число факторов в уравнении.
В MS Excel табличное значение критерия Стьюдента может быть определено с помощью функции:
СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; число степеней свободы)
Например: =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7)
Если , то делается вывод, что коэффициент уравнения регрессии является статистически значимым (надежным) и его можно включать в модель и использовать для прогнозирования.
1.4.2 Метод имитационного моделирования Монте-Карло
Метод имитационного моделирования получил свое название в честь города Монте-Карло, расположенного в княжестве Монако, одного из самых маленьких государств мира, расположенного на берегу Средиземного моря, около границы Франции и Италии.
Метод имитационного моделирования Монте-Карло предполагает генерирование случайных значений в соответствии с заданными ограничениями. Приступая к проведению имитационного моделирования, прежде всего, необходимо разработать экономико-математическую модель (ЭММ) прогнозируемого показателя, отражающего взаимосвязь между факторными переменными, а также степень и характер их влияния на результат. Поскольку в условиях современной рыночной конъюнктуры на субъект экономических отношений оказывают одновременное воздействие множество факторов различной природы и направленности и степень их воздействия не является детерминированной, представляется необходимым разделить переменные ЭММ на две группы: стохастические и детерминированные;
Далее следует определить типы вероятностных распределений для каждой стохастической переменной и соответствующие входные параметры, выполнить имитацию значений стохастических переменных с использованием генератора случайных чисел MS Excel или иных программных средств.
Инструмент «генерация случайных чисел» доступен пользователям MS Excel 2007 после активизации надстройки Пакет анализа
. Порядок активизации надстройки описан выше (см. стр.10, рис.1.5-1.8). Для выполнения имитационного моделирования в меню ДАННЫЕ
необходимо выбрать пункт «Анализ данных»
, в появившемся диалоговом окне из списка выбрать инструмент «Генерация случайных чисел»
и щелкнуть ОК.
Рисунок 1.46 - Интерфейс меню анализа данных
В появившемся диалоговом окне необходимо для каждой стохастической переменной выбрать тип вероятностного распределения и задать соответствующие входные параметры.
Рисунок 1.47 - Диалоговое окно генератора случайных чисел
Данные этап является одним из наиболее сложных, поэтому при его выполнении необходимо использовать знания и опыт экспертов. Выбор типа вероятностного распределения
также может осуществляться на основе имеющейся статистической информации. На практике чаще всего используют такие виды вероятностных распределений как нормальное, треугольное и равномерное.
Нормальное распределение (или закон Муавра-Гаусса-Лапласа) предполагает, что варианты прогнозируемого параметра тяготеют к среднему значению. Значения переменной, существенно отличающиеся от среднего, то есть находящиеся в «хвостах» распределения, имеют малую вероятность.
Треугольное распределение представляет собой производную от нормального распределения и предполагает линейно нарастающее, по мере приближения к среднему значению, распределение.
Равномерное распределение используется в том случае, когда все значения варьируемого показателя имеют одинаковую вероятность реализации.
При важности переменной и невозможности подобрать закон распределения
её можно рассматривать с точки зрения дискретного распределения.
Перечисленные выше виды вероятностных распределений требуют определения входных параметров, представленных в таблице1.11
Таблица 1.11 - Входные параметры основных видов вероятностных распределений
| Вид вероятностного распределения | Входные параметры |
| 1 Нормальное распределение |
|
| 2 Треугольное распределение |
|
| 3 Равномерное распределение |
|
| 4 Дискретное распределение |
|
В результате проведения серии экспериментов будет получено распределение значений стохастических переменных, на основании которых следует рассчитать значение прогнозируемого показателя.
Следующим необходимым этапом является проведение экономико-статистического анализа результатов имитационного моделирования, при котором рекомендуется рассчитывать следующие статистические характеристики:
среднее значение;
среднеквадратическое отклонение;
дисперсию;
минимальное и максимальное значение;
размах колебаний;
коэффициент асимметрии;
эксцесс.
Рисунок 1.48 - Гистограмма значений прогнозируемого показателя
Реализация указанных этапов позволит получить вероятностную оценку значений прогнозируемого показателя (интервальный прогноз).
ВЫВОД ИТОГОВ
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,998364 |
| R-квадрат | 0,99673 |
| Нормированный R-квадрат | 0,996321 |
| Стандартная ошибка | 0,42405 |
| Наблюдения | 10 |
Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.
Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .
В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.
Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.
В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.
Множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).
Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.
В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
| Y-пересечение | 2,694545455 | 0,33176878 | 8,121757129 |
| Переменная X 1 | 2,305454545 | 0,04668634 | 49,38177965 |
| * Приведен усеченный вариант расчетов | |||
Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).
Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:
Y= x*2,305454545+2,694545455
Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).
Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.
Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).
В таблице 8.3в . представлены результаты вывода остатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".
ВЫВОД ОСТАТКА
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Стандартные остатки |
|---|---|---|---|
| 1 | 9,610909091 | -0,610909091 | -1,528044662 |
| 2 | 7,305454545 | -0,305454545 | -0,764022331 |
| 3 | 11,91636364 | 0,083636364 | 0,209196591 |
| 4 | 14,22181818 | 0,778181818 | 1,946437843 |
| 5 | 16,52727273 | 0,472727273 | 1,182415512 |
| 6 | 18,83272727 | 0,167272727 | 0,418393181 |
| 7 | 21,13818182 | -0,138181818 | -0,34562915 |
| 8 | 23,44363636 | -0,043636364 | -0,109146047 |
| 9 | 25,74909091 | -0,149090909 | -0,372915662 |
| 10 | 28,05454545 | -0,254545455 | -0,636685276 |
При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение
Множественный коэффициент корреляции используется в качестве меры степени тесноты статистической связи между результирующим показателем (зависимой переменной) y и набором объясняющих (независимых) переменных или, иначе говоря, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Множественный коэффициент корреляции может быть вычислен по ряду формул 5 , в том числе:
с использованием матрицы парных коэффициентов корреляции
,
(3.18)
где
r
- определитель матрицы парных коэффициентов
корреляции y
,
,
r
11
- определитель матрицы межфакторной
корреляции
;
.
(3.19)
Для модели, в которой присутствуют две независимые переменные, формула (3.18) упрощается
.
(3.20)
Квадрат множественного коэффициента корреляции равен коэффициенту детерминации R 2 . Как и в случае парной регрессии, R 2 свидетельствует о качестве регрессионной модели и отражает долю общей вариации результирующего признака y , объясненную изменением функции регрессии f (x ) (см. 2.4). Кроме того, коэффициент детерминации может быть найден по формуле
.
(3.21)
Однако использование R 2 в случае множественной регрессии является не вполне корректным, так как коэффициент детерминации возрастает при добавлении регрессоров в модель. Это происходит потому, что остаточная дисперсия уменьшается при введении дополнительных переменных. И если число факторов приблизится к числу наблюдений, то остаточная дисперсия будет равна нулю, и коэффициент множественной корреляции, а значит и коэффициент детерминации, приблизятся к единице, хотя в действительности связь между факторами и результатом и объясняющая способность уравнения регрессии могут быть значительно ниже.
Для того чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют скорректированный коэффициент детерминации
(3.22)
Скорректированный
коэффициент детерминации всегда меньше
R
2 .
Кроме того, в отличие от R
2 ,
который всегда положителен,
может принимать и отрицательное значение.
Пример (продолжение примера 1) . Рассчитаем множественный коэффициент корреляции, согласно формуле (3.20):
Величина множественного коэффициента корреляции, равного 0,8601, свидетельствует о сильной взаимосвязи стоимости перевозки с весом груза и расстоянием, на которое он перевозится.
Коэффициент детерминации равен: R 2 =0,7399.
Скорректированный коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (3.22):
=0,7092.
Заметим, что величина скорректированного коэффициента детерминации отличается от величины коэффициента детерминации.
Таким образом, 70,9% вариации зависимой переменной (стоимости перевозки) объясняется вариацией независимых переменных (весом груза и расстоянием перевозки). Остальные 29,1% вариации зависимой переменной объясняются факторами, неучтенными в модели.
Величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, мы смогли учесть в модели наиболее существенные факторы, определяющие стоимость перевозки.
Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, - и -коэффициентов.
Коэффициент детерминации R -квадрат возьмем из итогов «Регрессии» (таблица «Регрессионная статистика» для модели (6)).
Следовательно, вариация (изменение) цены квартиры Y на 76,77% объясняется по данному уравнению вариацией города области Х 1 , числа комнат в квартире Х 2 и жилой площади Х 4 .
Используем исходные данные Y
i
и найденные инструментом «Регрессия» остатки 
(таблица «Вывод остатка» для модели (6)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение 
.
ВЫВОД ОСТАТКА
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Отн. погрешность |
| 1 | 45,95089273 | -7,95089273 | 20,92340192 |
| 2 | 86,10296493 | -23,90296493 | 38,42920407 |
| 3 | 94,84442678 | 30,15557322 | 24,12445858 |
| 4 | 84,17648426 | -23,07648426 | 37,76838667 |
| 5 | 40,2537216 | 26,7462784 | 39,91981851 |
| 6 | 68,70572376 | 24,29427624 | 26,12287768 |
| 7 | 143,7464899 | -25,7464899 | 21,81905923 |
| 8 | 106,0907598 | 25,90924022 | 19,62821228 |
| 9 | 135,357993 | -42,85799303 | 46,33296544 |
| 10 | 114,4792566 | -9,47925665 | 9,027863476 |
| 11 | 41,48765602 | 0,512343975 | 1,219866607 |
| 12 | 103,2329236 | 21,76707636 | 17,41366109 |
| 13 | 130,3567798 | 39,64322022 | 23,3195413 |
| 14 | 35,41901876 | 2,580981242 | 6,7920559 |
| 15 | 155,4129693 | -24,91296925 | 19,0903979 |
| 16 | 84,32108188 | 0,678918123 | 0,798727204 |
| 17 | 98,0552279 | -0,055227902 | 0,056355002 |
| 18 | 144,2104618 | -16,21046182 | 12,66442329 |
| 19 | 122,8677535 | -37,86775351 | 44,55029825 |
| 20 | 100,0221225 | 59,97787748 | 37,48617343 |
| 21 | 53,27196558 | 6,728034423 | 11,21339071 |
| 22 | 35,06605378 | 5,933946225 | 14,47303957 |
| 23 | 114,4792566 | -24,47925665 | 27,19917406 |
| 24 | 113,1343153 | -30,13431529 | 36,30640396 |
| 25 | 40,43190991 | 4,568090093 | 10,15131132 |
| 26 | 39,34427892 | -0,344278918 | 0,882766457 |
| 27 | 144,4794501 | -57,57945009 | 66,25943623 |
| 28 | 56,4827667 | -16,4827667 | 41,20691675 |
| 29 | 95,38240332 | -15,38240332 | 19,22800415 |
| 30 | 228,6988826 | -1,698882564 | 0,748406416 |
| 31 | 222,8067278 | 12,19327221 | 5,188626473 |
| 32 | 38,81483144 | 1,185168555 | 2,962921389 |
| 33 | 48,36325811 | 18,63674189 | 27,81603267 |
| 34 | 126,6080021 | -3,608002113 | 2,933335051 |
| 35 | 84,85052935 | 15,14947065 | 15,14947065 |
| 36 | 116,7991162 | -11,79911625 | 11,23725357 |
| 37 | 84,17648426 | -13,87648426 | 19,73895342 |
| 38 | 113,9412801 | -31,94128011 | 38,95278062 |
| 39 | 215,494184 | 64,50581599 | 23,03779142 |
| 40 | 141,7795953 | 58,22040472 | 29,11020236 |
| Среднее | 101,2375 | 22,51770962 |
По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение =22.51% (с помощью функции СРЗНАЧ).
Сравнение показывает, что 22.51%>7%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.
С помощью F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов применения инструмента «Регрессия» (таблица «дисперсионный анализ» для модели (6)) F = 39,6702.
С помощью функции FРАСПОБР найдем значение F кр =3.252 для уровня значимости α = 5% , и чисел степеней свободы k 1 = 2 , k 2 = 37 .
F > F кр , следовательно, уравнение модели (6) является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель (6) факторными переменными Х 1 , Х 2 . и Х 4 .
Дополнительно с помощью t –критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.
t
–статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах инструмента «Регрессия». Получены следующие значения для выбранной модели (6) :
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | Нижние 95,0% | Верхние 95,0% |
|
| Y-пересечение | -5,643572321 | 12,07285417 | -0,46745966 | 0,642988 | -30,1285 | 18,84131 | -30,1285 | 18,84131 |
| X4 | 2,591405557 | 0,461440597 | 5,61590284 | 2,27E-06 | 1,655561 | 3,52725 | 1,655561 | 3,52725 |
| X1 | 6,85963077 | 9,185748512 | 0,74676884 | 0,460053 | -11,7699 | 25,48919 | -11,7699 | 25,48919 |
| X2 | -1,985156991 | 7,795346067 | -0,25465925 | 0,800435 | -17,7949 | 13,82454 | -17,7949 | 13,82454 |
Критическое значение t кр найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k =40–2–1=37 . t кр =2.026 (функция СТЬЮДРАСПОБР).
Для свободного коэффициента α
=–5.643
определена статистика 
, 
t
кр
, следовательно, свободный коэффициент не является значимым, его можно исключить из модели.
Для коэффициента регрессии β
1
=6.859
определена статистика 
, 
β
1
не является значимым, его и фактор города области можно удалить из модели.
Для коэффициента регрессии β
2
=-1,985
определена статистика 
, 
t
кр
, следовательно, коэффициент регрессии β
2
не является значимым, его и фактор числа комнат в квартире можно исключить из модели.
Для коэффициента регрессии β
4
=2.591
определена статистика 
, 
>t кр, следовательно, коэффициент регрессии β
4
является значимым, его и фактор жилой площади квартиры можно сохранить в модели.
Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α=5% . Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент α можно считать значимым на уровне 0.64 = 64%; коэффициент регрессии β 1 – на уровне 0,46 = 46%; коэффициент регрессии β 2 – на уровне 0,8 = 80%; а коэффициент регрессии β 4 – на уровне 2,27E-06= 2,26691790951854E-06 = 0,0000002%.
При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R
2
и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества модели (3) и выбранной множественной модели (6) используем нормированные коэффициенты детерминации.
Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора «город области» Х 1 и фактора «число комнат в квартире» Х 2 качество модели ухудшилось, что говорит в пользу удаления факторов Х 1 и Х 2 из модели.
Проведем дальнейшие расчеты.
Средние коэффициенты эластичности
в случае линейной модели определяются формулами 
.
С помощью функции СРЗНАЧ найдем: S Y , при увеличении только фактора Х 4 на одно его стандартное отклонение – увеличивается на 0,914 S Y
Дельта-коэффициенты
определяются формулами 
.
Найдем коэффициенты парной корреляции с использованием инструмента «Корреляция» пакета «Анализ данных» в Excel.
| Y | X1 | X2 | X4 |
|
| Y | 1 | |||
| X1 | -0,01126 | 1 | ||
| X2 | 0,751061 | -0,0341 | 1 | |
| X4 | 0,874012 | -0,0798 | 0,868524 | 1 |
Коэффициент детерминации был определен ранее и равен 0.7677.
Вычислим дельта-коэффициенты:
; 
Поскольку Δ 1 1
и Х
2
выбрана неудачно, и их нужно удалить из модели. Значит, по уравнению полученной линейной трехфакторной модели изменение результирующего фактора Y
(цены квартиры) на 104% объясняется воздействием фактора Х
4
(жилой площадью квартиры), на 4% воздействием фактора Х
2
(число комнат), на 0,0859% воздействием фактора Х
1
(город области).
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Дальневосточный федеральный университет
Школа экономики и менеджмента
Кафедра бизнес-информатики и экономико-математических методов
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Имитационное моделирование»
Специальность 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Рудакова
Ульяна Анатольевна
г. Владивосток
ОТЧЕТ
Задание: рассмотреть процедуру регрессионного анализа на основе данных (цена продажи и жилая площадь) о 23 объектах недвижимости.
Режим работы "Регрессия" служит для расчета параметров уравнения линейной регрессии и проверки его адекватности исследуемому процессу.
Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис
команду Анализ данных
и инструмент анализа "Регрессия
".
В появившемся диалоговом окне задаем следующие параметры: 1.
Входной интервал Y
- это диапазон данных по результативному признаку. Он должен состоять из одного столбца.
2.
Входной интервал X
- это диапазон ячеек, содержащих значения факторов (независимых переменных). Число входных диапазонов (столбцов) должно быть не больше 16.
.Флажок Метки
, устанавливается втом случае, если в первой строке диапазона стоит заголовок.
5.
Константа ноль.
Данный флажок необходимо установить, если линия регрессии должна пройти через начало координат (а0=0).
6.
Выходной интервал/ Новый рабочий лист/ Новая рабочая книга -
указать адрес верхней левой ячейки выходного диапазона.
.Флажки
в группе Остатки
устанавливаются, если необходимо включить в выходной диапазон соответствующие столбцы или графики.
.Флажок График нормальной вероятности необходимо сделать активным, если требуется вывести на лист точечный график зависимости наблюдаемых значений Y от автоматически формируемых интервалов персентилей.
После нажатия кнопки ОК в выходном диапазоне получаем отчет. С помощью набора средств анализа данных выполним регрессионный анализ исходных данных. Инструмент анализа "Регрессия" применяется для подбора параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или нескольких независимых переменных. ТАБЛИЦА РЕГРЕССИОННАЯ СТАТИСТИКА Величина множественный R
- это корень из коэффициента детерминации (R-квадрат). Также его называют индексом корреляции или множественным коэффициентом корреляции. Выражает степень зависимости независимых переменных (X1, X2) и зависимой переменной (Y) и равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы. В нашем случае он равен 0,7, что говорит о существенной связи между переменными.
Величина R-квадрат (коэффициент детерминации)
, называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .
В нашем случае величина R-квадрат равна 0,48 , т.е. почти 50%, что говорит о слабой подгонке регрессионной прямой к исходным данным.Т.к. найденная величина R-квадрат = 48%<75%, то, следовательно, также можно сделать вывод о невозможности прогнозирования с помощью найденной регрессионной зависимости. Таким образом, модель объясняет всего 48% вариации цены, что говорит о недостаточности выбранных факторов, либо о недостаточном объеме выборки. Нормированный R-квадрат
- это тот же коэффициент детерминации, но скорректированный на величину выборки.
Норм.R-квадрат=1-(1-R-квадрат)*((n-1)/(n-k)), регрессионный анализ линейный уравнение где n - число наблюдений; k - число параметров. Нормированный R-квадрат предпочтительнее использовать в случае добавления новых регрессоров (факторов), т.к. при их увеличении будет также увеличиваться значение R-квадрат, однако это не будет свидетельствовать об улучшении модели. Так как в нашем случае полученная величина равна 0,43 (что отличается от R-квадрат всего на 0,05), то можно говорить о высоком доверии коэффициенту R-квадрат. Стандартная ошибка
показывает качество аппроксимации (приближения) результатов наблюдений. В нашем случае ошибка равна 5,1. Рассчитаем в процентах: 5,1/(57,4-40,1)=0,294 ≈ 29% (Модель считается лучше, когда стандартная ошибка составляет <30%)
Наблюдения
- указывается число наблюдаемых значений (23).
ТАБЛИЦА ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ Для получения уравнения регрессии определяется -статистика - характеристика точности уравнения регрессии, представляющая собой отношение той части дисперсии зависимой переменной которая объяснена уравнением регрессии к необъясненной (остаточной) части дисперсии. В столбце df
- приводится число степеней свободы k. Для остатка это величина, равная n-(m+1), т.е. число исходных точек (23) минус число коэффициентов (2) и минус свободный член (1). В столбце SS
- суммы квадратов отклонений от среднего значения результирующего признака. В нем представлены: Регрессионная сумма квадратов отклонений от среднего значения результирующего признака теоретических значений, рассчитанных по регрессионному уравнению. Остаточная сумма отклонений исходных значений от теоретических значений. Общая сумма квадратов отклонений исходных значений от результирующего признака. Чем больше регрессионная сумма квадратов отклонений (или чем меньше остаточная сумма), тем лучше регрессионное уравнение аппроксимирует облако исходных точек. В нашем случае остаточная сумма составляет около 50%. Следовательно, уравнение регрессии очень слабо аппроксимирует облако исходных точек. В столбце MS
- несмещенные выборочные дисперсии, регрессионная и остаточная. В столбце F
вычислено значение критериальной статистики для проверки значимости уравнения регрессии. Для осуществления статистической проверки значимости уравнения регрессии формулируется нулевая гипотеза об отсутствии связи между переменными (все коэффициенты при переменных равны нулю) и выбирается уровень значимости. Уровень значимости - это допустимая вероятность совершить ошибку первого рода - отвергнуть в результате проверки верную нулевую гипотезу. В рассматриваемом случае совершить ошибку первого рода означает признать по выборке наличие связи между переменными в генеральной совокупности, когда на самом деле ее там нет. Обычно уровень значимости принимается равным 5%. Сравнивая полученное значение = 9,4 с табличным значением = 3,5 (число степеней свободы 2 и 20 соответственно) можно говорить о том, что уравнение регрессии значимо (F>Fкр). В столбце значимость F
вычисляется вероятность полученного значения критериальной статистике. Так как в нашем случае это значение = 0,00123, что меньше 0,05 то можно говорить о том, что уравнение регрессии (зависимость) значимо с вероятностью 95%. Два выше описанных столба показывают надежность модели в целом. Следующая таблица содержит коэффициенты для регрессоров и их оценки. Строка Y-пересечение не связана ни с каким регрессором, это свободный коэффициент. В столбце
коэффициенты
записаны значения коэффициентов уравнения регрессии. Таким образом, получилось уравнение:
Y=25,6+0,009X1+0,346X2
Регрессионное уравнение должно проходить через центр облака исходных точек: 13,02≤M(b)≤38,26 Далее сравниваем попарно значения столбцов Коэффициенты и Стандартная ошибка.
Видно, что в нашем случае, все абсолютные значения коэффициентов превосходят значения стандартных ошибок. Это может свидетельствовать о значимости регрессоров, однако, это грубый анализ. Столбец t-статистика содержит более точную оценку значимости коэффициентов. В столбце t-статистика
содержатся значения t-критерия, рассчитанные по формуле:
t=(Коэффициент)/(Стандартная ошибка)
n-(k+1)=23-(2+1)=20
По таблице Стьюдента находим значение tтабл=2,086. Сравнивая t с tтабл получаем, что коэффициент регрессора X2 незначим. Столбец p-значение
представляет вероятность того, что критическое значение статистики используемого критерия (статистики Стьюдента) превысит значение, вычисленное по выборке. В данном случае сравниваем p-значения
с выбранным уровнем значимости (0.05). Видно, что незначимым можно считать только коэффициент регрессора X2=0.08>0,05 В столбцах нижние 95% и верхние 95% приводятся границы доверительных интервалов с надежностью 95%. Для каждого коэффициента свои границы: Коэффициент
tтабл*Стандартная ошибка
Доверительные интервалы строятся только для статистически значимых величин. ТАБЛИЦА ВЫВОД ОСТАТКА Остаток
- это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения). Предположение о нормальности остатков
допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения включаем функцию график остатков
. На графиках остатков отображаются разности между исходными значениями Y и вычисленными по функции регрессии для каждого значения компонента переменной X1 и X2. Он применяется для определения, является ли приемлемой используемая аппроксимирующая прямая. График подбора может быть использован для получения наглядного представления о линии регрессии. Стандартные остатки - нормированные остатки на оценку их стандартного отклонения.